Как получить BOT_TOKEN от Telegram говорить уже нет смысла. Об этом куча информации. И как получить GROUP_ID (chat_id) тоже. Это есть у нас в других статья.

Для начала создаём скрипт уведомления в Telegram под Linux. Это может быть любая система с выходом в интернет. В данном случае это Ubuntu

#!/bin/bash

GROUP_ID=
BOT_TOKEN=

# this 3 checks (if) are not necessary but should be convenient
if [ "$1" == "-h" ]; then
echo "Usage: `basename $0` \"text message\""
exit 0
fi

if [ -z "$1" ]
then
echo "Add message text as second arguments"
exit 0
fi

if [ "$#" -ne 1 ]; then
echo "You can pass only one argument. For string with spaces put it on quotes"
exit 0
fi

curl -s --data "text=$1" --data "chat_id=$GROUP_ID" 'https://api.telegram.org/'$BOT_TOKEN'/sendMessage' > /dev/null

Подставляем GROUP_ID= id вашего чата, группы или личного сообщения
BOT_TOKEN= — токен вашего бота.

Делаем скрипт исполняемым.

chmod +x /usr/bin/telegram-send
sudo chown root:root /usr/bin/telegram-send

Если всё ввели правильно, по команде из консоли должно отправлять сообщение
telegram-send "Test message"

Теперь нам необходимо чутка дополнить файл /usr/local/hestia/bin/v-backup-user

Вообще для отправки уведомлений на почту нужно запускать бекап так
/usr/local/hestia/bin/v-backup-user admin yes

Но мы правим его
Примерно 15я строка
notify='yes'

Дальше ищем # Send notification (примерно 782 строка)
и добавляем строки
OUTPUT=$(cat $BACKUP/$user.log)
telegram-send "$OUTPUT"

Теперь когда бекап будет сделан, вам придёт сообщение в Telegram. Главное чтобы количество символов лога было меньше 4096 символов. Иначе нужно разбивать лог на части. и отправлять частями.
В VestaCP правки такие же, только путь /usr/local/vesta/bin/v-backup-user

Также можно добавить уведомления об ошибке и других действиях.